数学笔记23——部分分式

  求解被积函数是有的分式P(x)/Q(x)的积分,P(x)和Q(x)是有关x多项式。如若无法求出那类积分的原函数,结果将令人心寒,将来大家要试图寻找3个一蹴而就的艺术求解那类难点。

选定周全法

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  这几个很不难:

图片 2

  可是假诺将其写成:图片 3 看起来就不那么简单求解了。那就须求我们可以去掉一部分分式的惺惺作态,相当于开展部分分式,变成大家熟知的被积函数。

  首先对被积函数的分母举办因式分解,利用初中的十字相乘法:

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  再将其拆分为新的等式:

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  最终再求出A和B,那必要一些技巧。现将等式两边都乘以x
– 1, 以便消去其中二个分式的分母:

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  将x =
1代入等式,那样就足以消去B的分式,直接求得A:

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  用同样的法门可求得B = 3。于是:

 图片 8

  掩盖法可以工作必须满足八个条件:

  1. Q(x)可以被因是表明;
  2. P(x)的万丈次数 <
    Q(x)的参天次数

举行部分分式

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  这里不只怕一直开展成:图片 10,那是无力回天求解的。对于分母是高次项的部分分式,其举办的形状应该型如:

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  所以:

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  那种方式无法求解A,因为无法消除B项。然则足以动用古老的代数法求解,随便找三个数字,代入即可,那里令x
= 0,等式变为:

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  最终:

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不可以线性展开的高次分式

  将分母的多项式因式分解后,假诺每一个因式的参天次项都以二回,则称该多项式可以线性展开,如
x3 – 3x + 2 = (x – 1)2(x +
2),对于无法线性展开的多项分式怎么着求解呢?

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  首先是依旧是因式分解:

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  然后要将部分分式展开,与事先不一致,分子要加入一回项:

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  用选定全面法求出A:

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  接下去要想方设法求解B和C,先将分母全部消去:

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  此时我们着眼等式最高次项的次数,左侧展开后会拿到Ax2

  • Bx2,等式左右两边的高次项周到应当相等:

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  由于省略号表示的表明式司令员不会出现x2,故B
= 二分一,代入可求得C = 3/6

  最终求解积分:

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  以往面对的就是积分难点了,所以并不是说有个别分式展开就顺手。第③片段很容易求解,答案是(ln|x

  • 1|)/2,第贰,局地可用预计法求得原函数(ln(x2 +
    1))/4,第壹某个需求借助三角替换,令x = tanθ

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  最终:

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处理假分式

  若是P(x)的次数超过Q(x)的次数,多项式就是2个假分式,那类难题尽管将其改为真分式就足以处理。

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  与一些分式相反,第二步是测算多项式:

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  用除法将其变为真分式,那一个进度实际上是将小学学过的除法竖式应用于多项式:

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  商是x – 1,余数是3x – 2,所以:

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  又见到了一些分式:

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拔尖复杂的积分

  被积函数作为部分分式展开:

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  一共有拾个未知数,正好和有个别分式的最高次数相同。那里并不打算求解那个未知数,只是用该列表示大家得以处理复杂的有理数积分。

  然则就算展开了一部分分式,如故相会临复杂的积分处理。那个事例将会碰到下边的积分:

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  一共有拾2个未知数,正好和部分分式的参天次数相同。这里并不打算求解那个未知数,只是用该列表示我们得以处理千丝万缕的有理数积分。

  不过尽管展开了某个分式,依旧会师临复杂的积分处理。那一个事例将会遇上上面的积分:

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  没完没了了,应该放任总结,交给总括机处理,只要知道统计思路即可。

示例

示例1

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示例2

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示例3

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图片 39

tanθ=2x

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示例4

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  作者:我是8位的

  出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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